LAAD

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1 命題と前提と結論

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推論の基礎について、最も有名で分かりやすい三段論法と絡めながら学びましょう。この三段論法を中心に、正しい推論の条件等を分析していきます。

それでは(2.1)を見てください。

(2.1)次の推論は正しいか。 <大前提> 魚は泳ぐ <小前提> マグロは魚だ [結論] よって、マグロは泳ぐ

大前提は論証の出発点としての一番大きい前提です。小前提は結論を導く上で必要な前提です。論理的主張で言えば、前提は根拠にあたるものです。

そして、大前提の方が小前提に比べて、一般的で抽象性が高いです。
「マグロ」は「魚」の中の1つの種類です。大前提は、魚類の1つである「マグロ」に絞っておらず、「魚」全体について述べています。魚類の1つである「マグロ」について述べている小前提よりも、一般性が高いことが確認できます。


ここで、大前提・小前提・結論はそれぞれ内容があり、意味を持っています。これらは命題と呼ばれています。
論理学の約束事では、命題は真・偽の判断を行えるものでなければなりません。真とは命題の内容が正しいことを意味しており、偽とは命題の内容が正しくないことを意味しています。


論理学では真・偽判定が行えるものが命題ですから、疑問形や命令形は基本的に命題とはなりません。

例えば、「これはペンですか」という疑問形のものを考えてみてください。その質問に対しては、ペンか否かは答えられます。
しかし、「これがペンである」ならば真、「これがペンではない」のであれば偽ということではありません。これは質問に答えているだけで、命題自体の真・偽判定になっていません。
「これはペンです」という肯定形ならば、実際にペンなのか否かで真・偽判定ができます。でも、「これはペンですか」という疑問形では、命題自体が正しいかどうかは判断しようがありません。
したがって、疑問形は命題にはなりません。

また、「ペンをとって」という命令形の場合はどうでしょうか。「ペンをとってあげる」ならば真、「ペンをとってあげない」のならば偽というわけではありません。疑問形の場合と同じで、命令形では、命題自体の真・偽の判定ができません。
したがって、命令形も命題になりません。

ちなみに、たとえ肯定形だとしても、単なる感想等も命題たりえません。
「私はペンが欲しい」といった場合、欲しければ真、欲しくなければ偽と判断できるわけではありません。「マグロは泳ぐ」と違って、人の気持ち自体は、正しいか間違っているかは判断しようがありません。
実際にペンを買ったら真、買わなかったら偽となるわけでもありません。買えなくても「ペンが欲しい」という意志を本当に持っているかもしれません。
したがって、意志や感想といったものも命題にはなりません。


このように、論理学では、推論の正しさと、その結果によって命題の真・偽判定ができるものですから、疑問形・命令形・意志等の主観に関わる外から正しいかどうか分からないモノは扱わないことになります。
しかし、日常的な場面で論理的思考を扱う場合には、それではやや狭すぎます。実際、複数の前提や条件から、「〜をすべきだ」といった提言等はよくなされます。

そこで、日常的な意味で論理的思考という場合、命令形や疑問形も、意志等の主観も命題として扱うことにします。

そのときの注意点として、できるだけ真・偽の判定がしやすいように表現することです。
疑問形なら「これはペンですかと言った」、命令形なら「ペンをとってと言った」、意志なら「私はペンが欲しいという意志を持っている」といった形に読み換えて、できるだけ外から見て判断しやすいようにしておくことが重要になります。

主観的過ぎる表現では、周囲の人は何も判断できません。
根拠のない結論だけの主張では最初から同じ意見の人しか納得できなかったように、主観的過ぎる表現は、それと同じことを思っている人にしか通じません。

論理的に物事を考えるとき、それを表現するときは、できるだけ外見から判断できる、客観的に、表現するようにしましょう。

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2 肯定と否定

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三段論法を使用するための条件をより深く分析するために、前提や結論の各命題をより緻密に分析していきます。

(2.1)次の推論は正しいか。 <大前提> 魚は泳ぐ <小前提> マグロは魚だ [結論] よって、マグロは泳ぐ

(2.1)の命題の述語に注目してみます。
どの命題も肯定形で表されています。「魚は泳ぐ」「マグロは魚だ」「マグロは泳ぐ」すべて肯定形となっています。

もちろん文には「〜である」といった肯定形もあれば、「〜ではない」といった否定形もあります。否定形を記号で表すならば¬となります。


なお、論理学で否定というとき純粋な意味での否定になります。これは日常の否定と比べると分かりやすいです。

日常で「好きではない」というと、純粋に「好き」を否定しているのではなく、「嫌い」まで含んだ意味合いを持つことが多くあります。「嫌い」と直接言うと角が立つので、やんわりとさせるため「好きじゃない」と言ってみたりすることがあります。

かと思うと、「好きではない」が、「普通」の意味でも使われたりもします。「好きでも嫌いでもない」といったどっちでもない特別な感情は無い、といった意味合いです。

日本語はなんて曖昧て難しいんだと思った人は心配いりません。英語でも「嫌い」と言うとき、hate や dislike のような嫌いな気持ちを全面に出したくないので、I don't like it といった具合にぼかすことが多いです。日本語だけではないので、安心できますね。

このように、日常で用いられる「〜ではない」といった否定は、多様な意味があり、純粋に否定することもあれば、その逆の意味を表したりもします。会話の流れ、文脈なしに判断することは中々難しいものです。


これに対して、論理学の否定は純粋な意味での否定のみを表します。
「好きではない」といったとき、「普通だ」や「嫌いだ」という意味合いは一切含まないことになります。

この「好き」という感情のみを純粋に否定していることをもう少し詳しく見てみます。

好き嫌いに関する感情で、「好き」「普通」「嫌い」といった幅があるとします。



「好きではない」と言ったとき、「好き」が否定されて、「普通」と「嫌い」が残ることになります。
図2.1.否定 


このように、論理学では、「好きではない」と言ったとき、「好き」か「好きではない」かの二者択一になります。「好き」ということが否定されるだけで、「普通」なのか「嫌い」なのかは分かりません。
また、どこかから好きで、どこから好きではないのかも不明ですが、「好き」か「好きではない」かでバッサリと切ります。

これが論理学の否定の意味です。純粋に否定しているだけで、それ以上は何も語っていないことに注意してください。

日常では、誤解が生じないようにするために、「普通」の場合はそのまま「普通だ」と言ったり「好きでもないし嫌いでもない」と言うべきかもしれません。ある程度ハッキリ言っておくべき時とそうではない時があるり、臨機応変に対応するしかないです。

しかし、論理的思考では、最初の取り掛かりとして、ザックリと「否定」を論理学的な意味合いで使うことを基本とします。
もちろん文脈等で適切に判断する必要がありますが、慣れない内は割り切って考えるとよいでしょう。


なお、「好き」といった段階性のあるコトの否定ではない場合、対義語で言い換えてもよいことがあります。
例えば、生物学上の性別を考えているとき、「男」を否定すると「男ではない」となりますが、これは「女」を意味しています。
生物学上と初めに言ったのは、社会学上で考えれば、LGBT等といった分類ができるからです。この場合では、「男ではない」が「女」であることを意味するとは限らなくなってしまいます。


そして、否定で重要なのは、二重否定です。「〜ではない」といった否定語を2回重ねて使うと肯定になります。
「好きではないではない」は「好きだ」ということになります。論理的思考では、二重否定は肯定形として捉えて単純化します。

確かに日常での二重否定の使われ方と異なることがよくあります。

例えば、友人と昼食を何にするか考えていて、
「ラーメンはどう？」と訪ねると、
友人が「なくはないかなぁ」と答える。

このような場合の「なくはないかなぁ」とは、「ありだ」という積極的な賛成ではなく、まぁ反対する程でもないとかそういった消極的な意味合いのことがあります。
それでも、論理的思考では、二重否定は肯定形として処理してしまいます。複雑なことを単純化して、考えやすくしたいからです。
もちろん、慣れてくれば二重否定に含まれる微妙なニュアンスを汲み取って考えるようにすればいいです。あくまで最初の段階では肯定形に単純化して考えるとよいということです。

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3 全称と特称

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もう一度(2.1)に戻って意味をよく考えてみます。

(2.1)次の推論は正しいか。 <大前提> 魚は泳ぐ <小前提> マグロは魚だ [結論] よって、マグロは泳ぐ

主語の「魚」も「マグロ」も、文として表に現れていませんが、「すべての」「魚」や「マグロ」について表していることに気付きます。
このように「すべての〜」という場合を全称(ぜんしょう)と言います。記号で表すと∀で表されます。ちなみに、ローマ字のAが逆さまになっているので、英語では turned Aと読みます。
「すべての魚」「すべてのマグロ」といった形になります。

なお、「すべての〜」は「任意の〜」とも表されたりします。
「任意」とは、意に任せるですから、一般には、当人の思うがままに、自由に、といった意味です。自由に選べるということだから、何を選んでもよいということになる。何でも選べるということは、全部から選択できるということになる。よって、「すべての〜」と同義になります。
「任意の魚」と言った場合は、「魚」を自由に選べるわけですから、どの「魚」についても選べることになり、「すべての魚」と同じ意味になります。

これは図で表すとこのようになります。
図2.2.全称と特称  
 

円が「魚」全体を表しており、斜線が「すべての魚」が何を指しているかを表しています。
つまり、円と斜線がピッタリ重なっているので、「すべての魚」と言うと、「魚」という概念全体を表しているのが視覚的に分かります。


これに対して、「すべて」ではない場合、つまり、1以上の一部について述べたいときは、「ある〜」と表して特称(とくしょう)と言います。記号で表すと∃ となります。英語ではEが反転しているので、turned Eと読みます。
「ある魚」「あるマグロ」といった形になります。「ある魚」と言ったときには、少なくとも1匹以上の「魚」について述べていることになります。

特称記号は存在記号とも呼ばれることがあります。
「ある魚は美味しい」というとき、「美味しい魚が存在する」ということを表しているからです。「魚」全体の中で、「美味しい魚」とそうでない「美味しくない魚」に分けます。すると「美味しい魚」は「魚」全体の中の一部を表していることになります。
これは特称と同じことを表していることになります。

これは図で表すとこのようになります。
図2.2.全称と特称  
 

円が「魚」全体を表しており、斜線が「ある魚」が何を指しているかを表しています。
つまり、円全体に対して斜線が一部のみ重なっているので、「ある魚」と言うと、「魚」という概念全体の中の一部の「魚」を表しているのが視覚的に分かります。


全称と特称の関係で注意が必要なのは、「〜ではない」が組み合わさったときです。
(2.2)を見てください。

(2.2)次の命題を否定せよ [結論] すべての人間は道徳的である

これを否定したとき、「すべての人間は道徳的でない」ではありません。これでは、「道徳的な人間は存在しない」と解釈されてしまいます。
否定の言葉である「ない」が「人間は道徳的である」にしかかかっておらず、「すべて」が否定されていないことになり、正しくありません。
ちゃんと「すべての人間は道徳的である」全体を否定しないといけません。



そして、「すべての人間は道徳的である」を否定すると、「『すべての人間は道徳的である』ということはない」になります。

(2.2)次の命題を否定せよ [結論] すべての人間は道徳的である 「すべての人間は道徳的である」ということはない

図で表すと、このようになります。
図2.3.全称の否定 


黒の斜線部分が、「すべての人間は道徳的である」です。「人間」の中で、「道徳的である人」が表されています。
赤の斜線部分が、「否定」されている箇所です。「人間」の中で、「道徳的ではない人」が表されています。

これって要するにどういうことなのでしょうか。
「すべての人間は道徳的である」は、100人の人間がいれば100人とも道徳的な人であることです。
「『すべての人間は道徳的である』ということはない」とは、100人の人間がいれば、100人皆が道徳的であるのではなく、中には道徳的でない人もいるということになります。
これは部分否定と考えられます。

そして、一見すると「すべての〜」と全称表現ではあるが、内容的には特称になっていることに気付きます。
これは図を見ても明らかです。黒の斜線部分が全体だと考えると、赤の斜線部分が全体の一部になっており、特称の図と同じになっています。
100人中100人皆が道徳的であるということはなく、道徳的でない人も一部に存在することを表しているからです。
「道徳的でない人間が存在している」ことを意味しているということです。

(2.2)次の命題を否定せよ [結論] すべての人間は道徳的である すべての人間は道徳的であるということはない ＝道徳的でない人間がいる

「道徳的でない人間がいる」とは、「ある人間は道徳的ではない」ということと同義です。

(2.2)次の命題を否定せよ [結論] すべての人間は道徳的である すべての人間は道徳的であるということはない ＝道徳的でない人間がいる ＝ある人間は道徳的ではない

ということは、全称表現「すべての〜」を否定すると、特称表現「ある〜」となることが分かります。
「『すべてのSはPである』ということはない」は「あるSはPではない」ということです。

もし「すべての人間は道徳的でない」とすると、100人中100人皆が道徳的ではなくなってしまい、道徳的である人間が0になってしまいます。
これは全てを否定しているので、全部否定ですね。

そもそも論理学的には否定というのは、純粋にそのものを否定するだけで、それ以上を意味することはありませんでした。
したがって、「すべての人間は道徳的である」を否定とは、100人中100人が道徳的であることを否定するものです。何人が道徳的なのかは分かりませんが、100人中99人が道徳的でも、100人中1人が道徳的でもいいのです。ともかく、100人中100人皆が道徳的であることを否定しているだけです。

しかし、「すべての人間は道徳的でない」とすると、道徳的である人がまったく存在しないことを意味するので、100人中0人が道徳的であることになります。
これでは「すべての人間は道徳的である」の否定とは意味が違ってしまいます。


なお、全称表現「すべての〜」を否定すると、特称表現「ある〜」となることの逆のパターン、つまり、特称表現「ある〜」を否定すると、全称表現「すべての〜」になることも知っておいてください。

(2.3)次の命題を否定せよ [結論] ある人間は道徳的である

単純に否定すると、「『ある人間は道徳的である』ということはない』となります。

(2.3)次の命題を否定せよ [結論] ある人間は道徳的である 「ある人間は道徳的である」ということはない

「ある人間は道徳的である」は、100人の人間がいれば何人かは道徳的な人が存在していることです。
「ある人間は道徳的であるということはない」とは、100人の人間がいれば何人かは道徳的であることを否定しています。何人かは分かりませんが、道徳的である人がいることを否定しているのです。
これは全部否定と考えられます。


図で表すと、このようになります。
図2.4.特称の否定 


黒の斜線部分が、「ある人間は道徳的である」です。「人間」の中で、「道徳的である人」が表されています。
そして、「ある〜」という特称を「否定」しているので、黒の斜線部分が消えることになります。
つまり、黒の斜線部分が表していた「道徳的である人」がまったくいなくなることになります。
よって、赤の円は、「道徳的である人が一人もいない」ことを表すと同時に、「人間」全体で「道徳的ではない人」のみが存在することを表していることになります。

したがって、一見すると「ある〜」と特称表現ではあるが、内容的には全称になっていることに気付きます。
100人の中で何人かは道徳的であることはないのだから、道徳的な人なんていないことを意味しています。「道徳的である人間が存在していない」ことを意味しているということです。

(2.3)次の命題を否定せよ [結論] ある人間は道徳的である 「ある人間は道徳的である」ということはない ＝道徳的である人間はいない

「道徳的である人間が存在していない」とは、「すべての人間は道徳的ではない」ということと同義です。

(2.3)次の命題を否定せよ [結論] ある人間は道徳的である ある人間は道徳的であるということはない ＝道徳的である人間はいない ＝すべての人間は道徳的ではない

このように、特称表現「ある〜」を否定すると、全称表現「すべての〜」となることが分かります。
「『あるSはPである』ということはない」は「すべてのSはPではない」ということです。


まとめると、全称と特称の関係は、全称を否定すると特称に、特称を否定すると全称になることが分かりました。

(2.4)全称と特称の関係 すべての ← 否定 → ある 全称の否定 「すべてのSはPである」ということははない 　　　　|| 　あるSはPではない 特称の否定 「あるSはPである」ということはない 　　　　|| 　すべてのSはPではない

このように、
全称、つまり「すべての」ことについて述べているのか、
特称、つまり「ある」一部について述べているのかは、
論理的思考で重要になるので、常に意識しておかなければなりません。

本当は記号を用いる方がスッキリとするのですが、この講義では数学や論理学を勉強しているわけではないことに加えて、あまり多くの記号を使用すると拒絶反応を示す人が少なからずいるので、∀、∃、¬の記号は使いません。

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4 ド・モルガンの法則 連言と選言

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三段論法について大体理解できたところで、より複雑なことを考えられるように、新しい概念を導入します。
より複雑に考えるとは、命題をより複雑なものにするという意味でもあります。

今まで見てきた命題は「魚は泳ぐ」といったように、1つの文、つまり単文で表されていました。
そこで複雑に考えるとは、1つの命題を2つの文、つまり複文にしたり、1つの文でも概念が3つ以上現れる等のように複文に書き直せるような形を考えます。

たとえば、「太郎も花子も足が速い」という文は、「太郎は足が速い」と「花子は足が速い」という2文を1文にまとめたものと分析できます。
また、「タケヤは太っているが、足が速い」というのは1つの文ですが、2つの文「タケヤは太っている」と「タケヤは足が速い」を接続詞「が」を使って1文にしていると分析できます。
このように、1つの命題の内容をより複雑にする方法について説明していきます。

1.連言

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5 条件法

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最後に推論方法の基礎的な知識として、条件文についての話です。

条件法とは「PならばQ」といった、2つの命題または概念を「ならば」という語で繋げた文です。
最初に出てくるPが前件、後に出てくるQが後件と呼ばれます。

また、P と Q の関係を見ると、前件Pは後件Qのための条件であり、後件Qは前件Pから導かれる帰結と言えます。

「ならば」を記号で表すと、「⇒」や「→」となりますが、ここでは「⇒」を使うこととします。

条件法「ならば」は、P を仮定して、Q が導ける場合に、「P ならば Q」と結論づけてよい、という約束事です。
これがどういった意味を持つのか見ていきます。論理学での「ならば」も、日常で用いられる「ならば」とは少し違った用いられ方をしています。

それでは、(2.12)を見てみましょう。

(2.11)条件法 [命題] 雨が降るならば、試合は中止だ

(2.12)の命題「雨が降ったならば、試合は中止だ」は、雨が降ると試合が中止になるということを述べています。これ自体は非常に明快です。
前件「雨が降る」が条件と仮定されており、この条件の下に、後件「試合は中止だ」という帰結が導びかれるということです。
つまり、前件「雨が降る」が真であり正しいなら、前件が肯定されることになります。
そすすると必然的に、後件「試合は中止だ」という帰結が導かれることになります。

このような、前件が肯定されるような場合を前件肯定式と呼びます。この前件肯定式は、推論する際に非常に役に立ちます。(2.12)を考えてみてください。

(2.12)次の2つの前提から得られる結論は何か <前提> 雨が降るならば、試合は中止だ <前提> 雨が降(ってい)る [結論] よって、

もちろん答えは「試合は中止だ」です。
前提「雨が降るならば、試合は中止だ」における前件は「雨が降る」で、その前件を肯定する前提「雨が降る/雨が降っている」もあります。
条件法「ならば」が元々前件を仮定して後件を導く機能を持っているので、後件「試合は中止だ」がが導けるわけです。そして、これが結論となります。

(2.12)次の2つの前提から得られる結論は何か <前提> 雨が降るならば、試合は中止だ <前提> 雨が降(ってい)る [結論] よって、試合は中止だ

このように、命題「P ならば Q」を前提にして、さらにその前件 P が真であることを前提として、この2つの前提から結論 Q を導くことができます。
そして、これは論理的には常に正しい推論の形式になります。このような条件法の前件を肯定すれば、必ず正しい結論を導ける法則を前件肯定規則と呼びます。

2つのから2つの前提から結論を導いているという点では三段論法です。
公式化するとこのようになります。

前件肯定規則 <前提> P ⇒ Q <前提> P である [結論] よって、Q である

気を付けておかなければならないのは、前件Pが「Pではない」と否定されていた場合には、後件Qが正しいか否かは分からないということです。
例えば、「雨が降るならば、試合は中止だ」で、今「雨が降っていない」とします。
このとき、「試合は中止ではない」と導くことはできません。日常の場面を想定すると、つい「雨が降ってない」ことから「試合は中止ではない」と考えてしまいがちです。

しかし、論理的に考えると、必ずしもそうとは言えないわけです。
「雨が降るならば、試合は中止だ」という命題は、「雨が降る」場合についてのみ言及しているのであり、「雨が降らない」場合については何も言及していません。
「雨が降る」場合に「試合は中止だ」というだけで、「雨が降らない」場合には「試合が中止」なのか「試合は中止ではない」については一切触れていないということです。
ちょっと捻くれた指摘の仕方をすれば、雨が降っていなくても、地震災害等で試合が中止になることだってあるわけです。

確かに、日常において、勝手に「雨が降るならば、試合は中止だ」の裏を読んで「雨が降らないならば、試合は中止ではない」と推測しても、大事にはならない確率は高いです。しかし、学問や原因解明等の論理的思考力が求められる場面では、この論理の飛躍が非常に不味い結果や結論を導くことが多いです。気を付けておいてください。

また、日常の場面でもハッキリ明示しておいた方が良い場合は、「雨が降るならば、試合は中止だ。雨が降らないならば、分からない」や「雨が降るならば、試合は中止だ。雨が降らないならば、試合は中止ではない」としておけばいいでしょう。

その他にも具体例を付け加えるなら、このような論理の厳しさは、法律の条文によく見られます。
条文で、「〜等」と完全に条件を限定せずに他にも類似した場合があるよと示したり、「その他〜の場合」等といった抽象的な表現にして色々な個別具体的な場合に対応できるようにしています。これは、法律の抜け穴をできるだけ少なくするためにも、ある程度は仕方ないことなんですね。

3.後件否定規則

前件肯定規則と後件否定規則のついでに逆・裏・対偶の概念を導入します。
2つの命題 P と Q から構成される命題「P ⇒ Q」を基本の形として考えて、これを「正」とします。

逆とは、P と Q を入れ換えたもので、「Q⇒P」という形です。

裏とは、P と Q を否定したもので、「Pではない⇒Qではない」という形です。

対偶は、逆と裏の両方を併せたもので、「Qではない⇒Pではない」です。
図2.11.正・逆・裏・対偶 


正・逆・裏・対偶の4つは次のような関係があります。

正と対偶の真偽は一致する。
つまり、正が真のとき対偶も真となり、正が偽のとき対偶も偽となる、ということです。
例えば「雨がるならば、試合は中止だ」で考えてみましょう。
対偶は「試合が中止ではないならば、雨は降っていない」となります。正と対偶で同じことを述べているのが分かるでしょうか。
正の命題「雨が降るならば、試合は中止だ」で後件否定規則を用いてみます。
後件の否定は「試合は中止ではない」です。
この2つの前提から、結論「雨は降っていない」が導かれていました。
これは要するに、「試合が中止ではないならば、雨は降っていない」ということです。
したがって、正と対偶の内容は同じことを言っており、真偽が一致することが確認できました。

これに対して、正と逆、正と裏の真偽は必ずしも一致するとは限らない。
つまり、正が真だとしても、その逆は必ずしも真とは限らず、偽になることもある。正が偽だとしても、その逆は必ずしも偽になるとは限らず、真になることもある。
また、正が真だとしても、その裏は必ずしも真とは限らず、偽になることもある。正が偽だとしても、その裏は必ずしも偽になるとは限らず、真になることもある、ということです。
「逆は必ずしも真ならず」とよく言うので、逆は意識されやすいですが、裏も忘れないように注意してください。

逆の例を見てみましょう。
「雨がるならば、試合は中止だ」を正とすると、逆は「試合が中止ならば、雨は降る」です。
これは後件否定規則のところで、犯しやすい過ちとして紹介した後件肯定と同じです。
「試合が中止」だからといって、必ずしも「雨が降る」ことは導きませんでした。「試合が中止」の場合は、雨が降っていなくても、地震災害等の場合がありました。

もっとも明確に真偽が一致しない例を挙げてみます。
「人間ならば哺乳類だ」という命題の逆を考えてください。逆の命題は「哺乳類ならば人間だ」となります。
正の命題「人間ならば哺乳類だ」は事実として問題もなく真とハッキリと言えます。しかし、逆の命題「哺乳類ならば人間だ」では、疑問が生じます。
哺乳類でも犬や猫はどうなのだろうかと。このことから、逆の命題「哺乳類ならば人間だ」は正しくない、つまり偽だと分かります。
このように、明らかに正が真だとしても、その逆は真ではない例があるのが分かります。

以上から、正と逆の真偽は必ずしも一致しないことが分かります。

続いて裏の例を見てみます。
「雨がるならば、試合は中止だ」を正とすると、裏は「雨が降らないならば、試合は中止ではない」です。
これは前件肯定規則のところで、犯しやすい過ちで紹介した前件否定と同じです。
「雨が降らない」からといって、「試合は中止ではない」と必然的に導けるわけではありません。正の命題は「雨が降る」場合についてのみ言及しており、「雨が降らない」場合については何も述べていません。

明らかに真偽が一致しない例を考えてみましょう。
正の命題を「元旦ならば神社にお参りする」とすると、裏の命題は「元旦でないならば、神社にお参りしない」となります。
正の命題「元旦ならば、神社にお参りする」は真であることはすぐに分かります。もし宗教上の理由で否定する人がいれば、ここでは日本人の大多数がするということで真としておいてください。
しかし、裏の命題「元旦ではないならば、神社にお参りしない」はどうでしょうか。
元旦でない日は1年に364日、閏年ならば365日ありますが、神社にお参りすることはないでしょうか。私は高校生の時、毎日のように地元の神社に行っていましたが、これは現代の若者の例外だとしても、観光でもすれば神社を訪れることはあると思います。元旦以外で神社に参拝しないというのは中々正しいとは言えないと思います。よって、裏は偽と言えます。
このように、正と裏の真偽は必ずしも一致しないことも確認できました。

正と対偶のみが真偽が一致し、それ以外の逆と裏は一致するかもしれないし、一致しないかもしれないということは絶対に忘れないでください。
命題の正しさが自明であるが故に、推論方法が正しくないことに気付かず論理を展開することは避けるようにしなければなりません。


なお、正を起点に逆・裏・対偶の関係を見ましたが、起点を移せば、図2.11のように関係を図示できます。

図2.11.正・逆・裏・対偶 


逆の命題を起点に考えれば、正の命題が逆になります。逆の命題の裏は、正の命題の対偶になります。逆の命題の対偶は、正の命題の裏になります。各自で裏から見た場合、対偶から見た場合というのを一度は確認しておいてください。

5 条件法の真偽判定

続いて、命題「P ならば Q」の中身そのものを検討してみましょう。
今までの話では、命題「P ならば Q」が真であるか偽であるかは自明であるかのように進めてきました。
ここで、命題「P ならば Q」を構成している2つの命題、つまり、P と Q のそれぞれの真偽が、命題「P ならば Q」の真偽にどのように関係するかを見ていきます。

P と Q が各々真と偽の2通りずつあるので、全体の1つの命題について 2×2=4 通り考えることになります。
「雨が降るならば、試合は中止だ」を例に考えてみます。前件 P は「雨が降る」で、後件 Q が「試合は中止だ」です。

「P」が真かつ「Q」が真の場合、「PならばQ」は真となります。
これは2つの命題が正しい場合には、全体の1つの命題も正しいと直感的にも納得できると思いますが、一応詳しく見てみます。
命題「雨が降る」が正しく、命題「試合は中止だ」も正しいことであると言う場合、全体の1つの命題「雨が降るならば、試合は中止だ」というのは正しいことが分かります。
「P」が真かつ「Q」が真の場合、「PならばQ」は真となることが確認できました。

「P」が真かつ「Q」が偽の場合、「PならばQ」は偽となります。
これも分かりやすいと思いますが、命題「雨が降る」が正しく、命題「試合は中止だ」は正しくない、という場合です。この場合、全体の1つの命題「雨が降るならば、試合は中止だ」というのは正しくないことが分かります。
この場合、「雨が降っている」にもかかわらず、「試合は中止」になっていないことになります。これでは「雨が降るならば、試合は中止だ」とは言えません。
「P」が真かつ「Q」が偽の場合、「PならばQ」は偽となることが確認できました。

「P」が偽かつ「Q」が真の場合、「PならばQ」は真となります。
これは、先程のパターンと逆になっているのですが、注意が必要です。
命題「雨が降る」が正しくなく、命題「試合は中止だ」は正しい、という場合です。この場合は、全体の1つの命題「雨が降るならば、試合は中止だ」というのは正しくなります。
「雨が降るならば、試合は中止だ」という命題は、「雨が降る」場合についてのみ述べているモノです。したがって、「雨が降る」場合以外に何が起きても、元の命題「雨が降るならば、試合は中止だ」について正しくないとは言いきることができません。
しかし、論理学において、命題とは真・偽を判定できるもの定義しているので、真か偽か決めないといけません。
そこで明確に偽とは判断できないので、「P」が偽かつ「Q」が真の場合、「PならばQ」は真することにしました。

「P」が偽かつ「Q」が偽の場合、「PならばQ」は真となります。
命題「雨が降る」が正しくなく、命題「試合は中止だ」は正しくない、という場合です。この場合、全体の1つの命題「雨が降るならば、試合は中止だ」というのは正しくなります。
これも先程の「P」が偽かつ「Q」が真の場合と同じ理由によります。
論理学でそう定義したからです。
「P」が偽かつ「Q」が偽の場合、「PかつQ」は真となることが確認しました。

条件法「ならば」では、前件Pが真で後件Qが偽の場合のみ「PならばQ」は偽となり、それ以外は真となることが分かりました。
頭がこんがらがって理解できないなら、「雨が降るならば、試合は中止だ」と言う場合に、これが明確に嘘だと言えのは、「雨が降る」にもかかわらず「試合が中止」でない場合のみだと理解しておいてください。

しかしながら、日常の会話で、快晴の下でまさに試合が始まったばかりなのに、「雨が降るならば、試合は中止だ」と言うと、論理的には正しいとしても、頭がおかしい人に思われます。
論理学の世界とは異なる日常では、もう明らかに偽と分かっているコトを前件 P にして「P ならば Q」と発言することは滅多にないので、この違和感に繋がるではないかと思います。
直感的に中々納得行かないかもしれませんが、そういうもんだとして割り切って覚えてください。

真理値表にまとめると表2.2のようになります。

P	Q		P ⇒ Q
真	真		真
真	偽		偽
偽	真		真
偽	偽		真

さて、論理学において「ならば」が、日常での使用方法と趣を異にすることが分かった段階で、もう一つ確認しておかなければならないことがあります。
それは、論理学の「ならば」には因果関係や時間的前後関係を意味として含んでいないことです。これは連言「かつ」もそうだったので少しは理解しやすいかもしれません。

(2.14)を見てください。

(2.14)次の命題の対偶を書け。 [命題] 勉強しないと、叱られる

接続詞が「ならば」ではなく「と」ですが、意味的には「P ならば Q」の条件法になっています。「勉強しないならば、しかられる」ということです。
前件「勉強しない」が否定になっているので、これを否定すると二重否定になるので、「勉強する」という肯定になることに注意してください。
とりあえず単純に前件と後件を入れ換えて、それぞれ否定すると「叱られないならば、勉強する」となります。

(2.14)次の命題の対偶を書け。 [命題] 勉強しないと、叱られる [対偶] 叱られないならば、勉強する

これでは意味が変わってしまっていることに気が付いたでしょうか。
正の命題では「勉強しない」という事態が最初にあって、その結果として「叱られる」という事態が発生する意味になります。ここには、時間的前後関係が明確にあるわけです。

(2.14)次の命題の対偶を書け。 [命題] 勉強しないと、叱られる 時間的前後　 1 　→　　 2 [対偶] 叱られないならば、勉強する

しかし、対偶命題「叱られないならば、勉強する」では、「叱られない」という事態が最初にあって、その結果として「勉強する」という事態が発生する意味になります。ここでも、時間的前後関係が明確にあります。

(2.14)次の命題の対偶を書け。 [命題] 勉強しないと、叱られる 時間的前後　 1 　→　　 2 [対偶] 叱られないならば、勉強する 時間的前後　 1　　 　→　　　 2

正と対偶を比べると、意味合いが変化していることが分かります。
つまり、正の命題では「勉強しない」ことが最初にあり、それが原因となって、「叱られる」という結果を引き起こしています。これに対して、対偶の命題では、「叱られない」ことが最初にあり、それが原因となって、「勉強する」という結果が引き起こされていることになっています。
このように時間的前後関係あるいは因果関係が逆転していることになります。

このようなことが起きる理由に、論理学の「ならば」は、時間的前後関係や因果関係を含んでいないことが挙げられます。
一方で、日常で用いられる「ならば」は、時間的前後関係や因果関係を含んだものであることが多いです。
したがって、対偶命題を考える場合は、文意を保存しながら時間的前後関係や因果関係がおかしくならないように言い換える必要があります。

(2.14)で正の命題の時間的前後関係を保存しながら、対偶命題に書き換えるためには、「勉強する」ことが最初にあり、「叱られない」ことが後に来ることが分かるようにしてやる必要があります。そうすると「叱られていないならば、勉強している」と書き換えることができます。

(2.14)次の命題の対偶を書け。 [命題] 勉強しないと、叱られる 時間的前後　 1 　→　　 2 [対偶] 叱られないならば、勉強する 時間的前後　 1　　 　→　　　 2 　　↓文意を保存しつつ 日常的表現で言い換える 叱られていないならば、勉強している

「叱られていないならば、勉強している」が、どういう意味を持っているかよく考えてみてください。
「叱られていない」と言うと、今現在「叱られる」という状態にないことを意味しています。
「勉強している」と言うと、今現在「勉強」している状態を意味します。
そして、「叱られていないならば、勉強している」と言うと、「叱られていない」場合には「勉強している」状態にあるということです。
とすると、「叱られていない」状態を原因として、「勉強している」という結果を導いていないことが分かります。

そして、「叱られていないならば、勉強している」という文からは、「叱られていない」状態の前に「勉強している」状態が先行していることが分かります。
「叱られていない」状態であることは、すでに「勉強している」ことを意味しているということです。

このように、命題を対偶に書き換える際には、時間的前後関係や因果関係等に気を付けて言い換える必要がしばしあります。

条件法の最後に補足的に、「P ⇒ Q」で大切な考え方に、必要条件と十分条件というモノについて触れておきます。これは高校の数学でも学び、試験でもよく出されるので馴染みが深いと思いますが、敢えて何も知らないという前提で話を進めます。

まず、「P ⇒ Q」が真のとき、
前件P を十分条件、
後件Q を必要条件、
と言います。

なぜこのような名称がついているかと言うと、
PはQであるための十分条件であり、
QはPであるための必要条件である、
と言うからです。

これでは、何が言いたいのかよく分からないと思うので、具体例から考えてみます。
(2.15)を見てください。

(2.15)十分・必要条件 [命題] マグロならば魚だ

前件 P は、「マグロ」で、これが十分条件で、
後件 Q は、「魚」で、これが必要条件、
となります。

(2.15)十分・必要条件 [命題] マグロならば魚だ 　　　　 　前件　⇒　後件 　　　十分条件　　必要条件

「マグロ」は、「魚」であるための十分条件であり、
「魚」は、「マグロ」であるための必要条件である、
ということになります。

「マグロ」と「魚」の関係を考えると、「マグロ」は、「魚」の一部と言えます。
したがって、「マグロ」であれば、自動的に「魚」と言うことができます。
これが、「マグロ」は「魚」であるための十分条件である、ということの意味です。確かに、「マグロ」であることは、「魚」であると言うのに十分な条件と言えます。
「マグロ」から見たら、「魚」という要素は、「マグロ」と言うための十分な条件だと分かりました。

逆に、「魚」から見た「マグロ」はどういったものになるでしょうか。
「魚」であっても、「マグロ」とは自動的には言えません。「魚」には「マグロ」だけでなく、「鮭」や「鯖」も「魚」ですから、「魚」といっても自動的に「マグロ」にはならないわけです。
しかしながら、「魚」というのは、「マグロ」であると言うためには必須の要素となります。
「マグロ」の定義からして、「魚でないマグロ」というのは有り得ません。「マグロ」である限り、「魚」というのは絶対になければならない要素と言えます。
これが、「魚」は「マグロ」であるための必要条件である、ということの意味になります。

したがって、
「前件 P は、十分条件である」という理由は、後件 Q から見れば、前件 P は、後件 Q であると自動的に言える条件だから、
「後件 Q は、必要条件である」という理由は、前件 P から見れば、後件 Q は、前件 P であるために必須の条件だから、
ということが分かります。

この「マグロ」が部分で、「魚」が全体であるという関係は、図で表すと、このようになります。
まず「魚」という集合があります。



この中に「マグロ」という集合があります。



このように、「マグロ」は「魚」の一部ということが分かります。
そして、「マグロ」が十分条件で、「魚」が必要条件であったことから、十分条件と必要条件の関係は、このようになります。

図2.12.十分・必要条件の関係 


つまり、十分条件 P は、必要条件 Q の部分的なモノだということが分かります。
このことからも、前件 P ならば、自動的に後件 Q と言えますが、後件Q であっても、自動的に前件 P であるとは言えないことが分かります。

十分条件 ⇒ 必要条件 という関係をよく押さえておいてください。

なお、正の逆は必ずしも真ならずでした。
したがって、「マグロならば魚だ」の逆である「魚ならばマグロだ」は、必ずしも真ではないことになります。
実際にも偽であるのは明らかです。「魚」には「鮭」も含まれているので、「魚」といっても自動的に「マグロ」と決まるとは限らないからです。

しかし、「必ずしも真ではない」ということは、もちろん「真である場合もある」わけです。
つまり、
十分条件 ⇒ 必要条件 が真で、
必要条件 ⇒ 十分条件 が真である
という場合もあります。
このように、正と逆のどちらでも真である場合を論理的に同値と言います。いわゆる＝イコールで結ぶことができます。
これは、十分条件である P と必要条件である Q が同じだということを意味します。先程の図でいうと、＝ で結べるということなので、2つの円がピッタリと重なり合うことになります。
論理学では、⇔ という記号を使います。

必要十分条件 P ⇔ Q 十分条件 P ⇒ 必要条件 Q が真 必要条件 Q ⇒ 十分条件 P が真

(2.16)の命題「x²=1 ⇒ x=±1」を考えて見てください。
「x²=1」とは「x を2回掛けて1 となる」ことを表します。これを満たす数字は、1 と-1 の2つ考えられます。なぜならば、1×1=1、(-1)×(-1)＝1、だからです。

(2.16)必要十分条件の例  x2=1 ⇒ x=±1 真 十分　　必要

「x²=1」は、「x=±1」であるための十分条件であり、
「x=±1」は、「x²=1」であるための必要条件である、
ということが分かります。
今「十分条件 ⇒ 必要条件」が真であることを確認しました。

では、十分条件と必要条件がひっくり返った場合、つまり、正の逆の場合はどうなるでしょうか。

(2.16)必要十分条件の例  x2=1 ⇒ x=±1 真 十分　　必要  x=±1 ⇒ x2=1  必要　　 十分

「必要条件 ⇒ 十分条件」の真・偽の判断をするということになります。
1×1= 1、(-1)×(-1)＝1だから、「x=1」のときも「x=-1」のときも、「x²=1」となります。
つまり、「x=±1 ⇒ x²=1」は真ということが分かります。

(2.16)必要十分条件の例  x2=1 ⇒ x=±1 真 十分　　必要  x=±1 ⇒ x2=1 真  必要　　 十分

つまり、「必要条件 ⇒ 十分条件」が真であることが確認できました。
ということは、「十分条件 ⇒ 必要条件」と「必要条件 ⇒ 十分条件」の両方が真であるということは、「x²=1」と「x=±1」は論理的に同値であることが言えます。

(2.16)必要十分条件の例  x2=1 ⇒ x=±1 真 十分　　必要  x=±1 ⇒ x2=1 真  必要　　 十分 ---------------  x2=1 ⇔ x= ±1

数学の方程式を解くときは、この必要十分条件を暗黙の内に用いていることが分かります。

そして、日常の会話でも、このような必要十分条件になっているかを確しかめることで、2つの概念が同じことを意味しているのかどうかは分かります。
逆に言えば、「P は、Q だ」と言う場合でも、「十分条件 P ならば必要条件 Q」は満たしていも、「必要条件 Q ならば十分条件 P」を満たしているとは限らない場合もあります。
例えば、「マグロは魚だ」と言えば、確かに「マグロ＝魚」のように考えることもできます。しかし、「魚はマグロだ」と言うと、途端に「ん？」となります。一番美味い魚は何だという話をしているのではない限り、「魚はマグロだ」と言われると、「魚」と言っても「マグロ」以外にも「鮭」等があるから、「魚＝マグロ」とするのは、少し変に思えるからです。
このように、同じものという意味で、＝ で結んで分かりやすく表すことは日常でもよく使われますが、実は、「必要条件 Q ならば十分条件 P」が満たされていないので、論理的に同値ではないことはしばしば見かけます。
こうした何気ない所でも、論理的思考を使って練習して見るのも良いかと思います。

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6 まとめ

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推論方法の基礎をまとめます。
論理的思考を行うためには、まず命題を具体的に定める必要がありました。つまり、正しいか間違っているかといった真偽の判断が行える言語化された内容とする必要があります。

命題は大きく分けると、肯定文と否定文に分かれていますが、否定の場合は、基本的には裏を読まずに純粋に否定されたモノのみを読み取るのが基本でした。

そして、命題内には全称と特称があります。「すべての〜」という意味なのか、「ある〜」という意味なのかをしっかりと読み取る必要があります。また、全称を否定すれば特称に、特称を否定すれば全称になりました。

連言「P かつ Q」や選言「P または Q」、条件法「P ならば Q」が使われると、命題が複雑になります。それぞれが何を表しているのかは、図で考えると分かりやすかったです。、また、真理値表で、P と Q が真や偽のとき、連言・選言・条件法の真・偽の判定がどうなるかもしっかりと抑えておく必要がありました。

さて、三段論法の使用条件が分かったところで、三段論法の種類についての話に移ります。
今まで見てきた三段論法は定言ていげん三段論法と言います。「SはPである」と断定した物言いになっており、定めて言っていることが分かります。したがって、このような断定調で表された三段論法を定言三段論法と呼びます。

定言三段論法の他にも、選言せんげん三段論法と仮言かげん三段論法というのもあります。選言は「Pであるか、またはQである」とどちらかを選ぶような言い方になり、仮言は「PならばQである」という仮に述べるような言い方になります。
そこで、選言三段論法と仮言三段論法の2つをそれぞれ詳しく見ていきます。